これはあなたが解決する問題ではなく、あなたとパートナーが解決する問題です。パートナーが当事者意識を持たない限り、解決することはできません。夫婦の問題として、パートナーとじっくり話し合いましょう。話し合う時のポイントは、義母の悪口を言ったり愚痴をこぼすことは避けて、「お義母様と家族としてうまくやっていきたいので、そのためにはあなたの力が必要だ」という言い方がよいでしょう。言葉はやわらかくても決然とした態度で、このままではやっていかれないと感じているあなたの深刻な気持を、態度で示すことが肝心です。パートナーが危機感を持ち、なんとかしなければという気にならないと、状況は変わらないでしょう。
義母に対しては、「いろいろと教えてください」と、家事を分担してもらったらどうでしょう。家族の一員として役割りを期待されるのは、悪い気持ではないと思います。